En unes eleccions parlament脿ries habitualment tenim el territori repartit en circumscripcions i en cada una d’elles s’hi presenten diversos partits.

Suposem que cada votant tria un partit. A partir dels vots emesos es tracta de formar un parlament que tingui en compte els dos principis seg眉ents:

  1. Proporcionalitat:聽 cada partit ha d’estar present al parlament en la mateixa proporci贸 en qu猫 ha estat votat a tot el territori.
  2. Representaci贸 del territori:聽 el parlament ha de representar adequadament les diferents realitats territorials.

El sistema biproporcional aconsegueix satisfer for莽a b茅 aquest doble objectiu. Com veurem, l’assignaci贸 d’escons a cada partit dins de cada circumscripci贸 s’ajusta per tal de servir a la vegada a la proporcionalitat entre partits a nivell global i a un repartiment territorial predefinit. A canvi d’aquest doble objectiu, es permet que disminueixi聽la proporcionalitat entre partits dins de cada circumscripci贸.

Aquest sistema va ser ideat el 1989 per Michel Balinski i Gabrielle Demange. L’any 2006 va ser adoptat oficialment pel cant贸 su铆s de Z眉rich, que fins llavors usava un procediment molt similar al que usem actualment a Espanya i a Catalunya. El motiu pel que van canviar de sistema 茅s perqu猫 algunes de les cicumscripcions eren relativament petites 鈥4聽escons鈥 mentre que el vot estava for莽a repartit entre molts partits 鈥9聽partits鈥. 脪bviament, en aquestes condicions 茅s impossible aconseguir cap mena de proporcionalitat dins de la circumscripci贸 en q眉esti贸. La soluci贸 la va proporcionar el matem脿tic Friedrich Pukelsheim, que va mostrar la possibilitat d’aplicar el m猫tode biproporcional. Posteriorment, aquest m猫tode ha estat adoptat per sis聽cantons m茅s, concretament Schaffhausen (2008), Aargau (2008), Nidwalden (2013), Zug (2013), Schwyz (2015) i Valais (2016).

A continuaci贸 en veurem el funcionament a partir d’un exemple concret, basat en les eleccions al parlament catal脿 del setembre de 2015 i en el cens de poblaci贸 del 2015.

 

Decisions pr猫vies, independents del m猫tode biproporcional

 

1. Mida del parlament

Seguint una t貌nica bastant estesa, suposarem una relaci贸 de 50.000 habitants聽per esc贸, la qual cosa correspon aproximadament a 150 escons. Per tal d’evitar empats considerarem un parlament amb聽151 escons.

 

2. Divisi贸 en聽circumscripcions

Cal reflectir adequadament el territori. Aix貌 es pot concretar聽de moltes maneres. Per fer l’exemple, nosaltres聽prendrem com a聽circumscripcions les vegueries o 脿mbits funcionals territorials, definits per la llei del 1995 amb la seva modificaci贸 del 2010, per貌 l’脿mbit metropolit脿 de Barcelona el subdividirem en tres circumscripcions: Barcelon猫s, Baix Llobregat, Vall猫s-Maresme.

 

3. Quants escons assignem a cada circumscripci贸

Aqu铆 tant es pot buscar la proporcionalitat entre escons i聽poblaci贸, com discriminar positivament les circumscripcions menys poblades i assigna’ls-hi m茅s escons dels que els correspondrien segons la poblaci贸.

En el nostre exemple聽assignarem els escons聽en proporci贸 (aproximada) a la poblaci贸. M茅s concretament, utilitzarem la regla d’Adams. Les seg眉ents dades de poblaci贸 corresponen al cens de 2015:

Taula 1: Assignaci贸 d’escons a cada circumscripci贸 segons la seva poblaci贸
Circumscripci贸 poblaci贸 quocient escons
Barcelon猫s 2225144 43.21 44
Vall猫s-Maresme 1740548 33.80 34
Baix Llobregat 806651 15.66 16
Comarques gironines 738682 14.34 15
Camp de Tarragona 512300 9.95 10
Pened猫s 469529 9.12 10
Comarques centrals 395558 7.68 8
Ponent 363783 7.06 8
Terres de l’Ebre 182867 3.55 4
Alt Pirineu i Aran 73044 1.42 2
total Catalunya 7508106 151

La columna 鈥渜uocient鈥 d贸na el resultat de dividir la poblaci贸 per un divisor d’Adams, en aquest cas 51500. Per a聽cada circumscripci贸 hem fet el quocient entre la poblaci贸聽i el divisor (tercera columna) i el resultat l’hem arrodonit per exc茅s (quarta columna). El valor 51500 ha estat escollit per tal que el total d’escons sigui聽151.

Fixem-nos que obtenim dues circumscripcions realment petites (alguns experts consideren massa petita una circumscripci贸 on el nombre d’escons sigui inferior a dues vegades el nombre de partits). Tanmateix, com veurem, no 茅s tan greu en el cas del m猫tode biproporcional.

 

Recompte de vots a partits en cada circumscripci贸

Els resutats de la votaci贸 figuren a la taula seg眉ent (font: Generalitat de Catalunya, Resultats electorals), on omitim, d鈥檜na banda, els vots que no determinen escons (vots en blanc i vots a candidatures que no van superar la barrera del 3%), i d鈥檃ltra banda, els dels residents a l鈥檈stranger, dels quals no hem trobat dades que detallin la seva distribuci贸 territorial.

Taula 2: Resultats de les Eleccions al Parlament 2015
Circumscripci贸 JxS铆 Cs PSC CatS铆Pot PP CUP
Barcelon猫s 390141 222666 164736 126856 131972 107120
Vall猫s-Maresme 371676 196308 129411 99865 75233 77918
Baix Llobregat 119383 107219 83166 59087 39790 29411
Comarques gironines 210653 47316 32943 18187 22072 32342
Camp de Tarragona 104140 59563 31420 17571 24399 19618
Pened猫s 106003 46021 32855 20527 18931 22884
Comarques centrals 142419 19679 18547 9894 11229 20962
Ponent 102850 22910 15536 8292 14336 14518
Terres de l’Ebre 51357 8962 9784 4605 7808 7571
Alt Pirineu i Aran 22198 4291 3860 1498 2570 3924

 

Repartiment global d’escons聽entre partits

En aquest moment treballem com si tingu茅ssim una sola circumscripci贸. Sumem els vots de cada partit i apliquem una regla d’assignaci贸 proporcional,聽com ara D鈥橦ondt o Sainte-Lagu毛. En aquests cas, ho farem amb la regla de D’Hondt. La suma dels vots de cada partit 茅s:

Taula 3: Vots totals a partits
JxS铆 Cs PSC CatSiPot PP CUP
1620820 734935 522258 366382 348340 336268

Amb el divisor de D’Hondt D = 25535 s’obt茅 el repartiment global d’escons:

Taula 4: Assignaci贸 global a partits
JxS铆 Cs PSC CatS铆Pot PP CUP
63 28 20 14 13 13

A partir d’ara respectarem sempre aquests resultats.

 

Objectiu

A continuaci贸 volem repartir els 151 escons de manera el m茅s proporcional possible als聽vots obtinguts per cada partit a cada circumscripci贸 amb les restriccions addicionals seg眉ents:

  • Cada partit ha de rebre en total el nombre d鈥檈scons que li hem assignat en el repartiment global (taula 4).
  • S鈥檋a de respectar el nombre total d鈥檈scons de cada circumscripci贸, tal com s’ha establert abans de la votaci贸 (taula 1).

Es tracta, doncs, d’omplir la taula seg眉ent de la manera “m茅s proporcional possible” a la taula聽2 (en un sentit t猫cnic).

Taula 5:聽El problema a resoldre
JxS铆 Cs PSC CatS铆Pot PP CUP escons circ.
Barcelon猫s ? ? ? ? ? ? 44
Vall猫s-Maresme ? ? ? ? ? ? 34
Baix Llobregat ? ? ? ? ? ? 16
Comarques gironines ? ? ? ? ? ? 15
Camp de Tarragona ? ? ? ? ? ? 10
Pened猫s ? ? ? ? ? ? 10
Comarques centrals ? ? ? ? ? ? 8
Ponent ? ? ? ? ? ? 8
Terres de l’Ebre ? ? ? ? ? ? 4
Alt Pirineu i Aran ? ? ? ? ? ? 2
escons partit 63 28 20 14 13 13 151

 

Un primer intent (natural per貌 fallit)

Si dividim els vots que ha obtingut cada partit a cada circumscripci贸 pel divisor,聽D = 25535, que hem utilitzat per fer l’assignaci贸 global a partits i despr茅s agafem la part entera, no aconseguim satisfer les restriccions (ni tampoc amb qualsevol altre divisor):

Taula 6:聽El divisor global no funciona
JxS铆 Cs PSC CatS铆Pot PP CUP suma escons circ.
Barcelon猫s 15 8 6 4 5 4 42 44
Vall猫s-Maresme 14 7 5 3 2 3 34 34
Baix Llobregat 4 4 3 2 1 1 15 16
Comarques gironines 8 1 1 0 0 1 11 15
Camp de Tarragona 4 2 1 0 0 0 7 10
Pened猫s 4 1 1 0 0 0 6 10
Comarques centrals 5 0 0 0 0 0 5 8
Ponent 4 0 0 0 0 0 4 8
Terres de l’Ebre 2 0 0 0 0 0 2 4
Alt Pirineu i Aran 0 0 0 0 0 0 0 2
suma 60 23 17 9 8 9 126
escons partit 63 28 20 14 13 13 151

 

El procediment

En general no hi ha cap divisor D tal que quan dividim els resultats per D i agafem la part entera resolem聽l’assignaci贸 pendent de la taula 5.

El m猫tode biproporcional considera m茅s divisors, concretament, un divisor per cada fila i un divisor per cada columna. Aquests divisors han de complir que, en dividir cada casella de la taula de resultats聽(taula 2) pel divisor de la fila i pel divisor de la columna corresponents i agafar la part entera, aleshores les sumes de files i columnes s贸n les prefixades.

Les matem脿tiques ens asseguren que es poden trobar aquests divisors que resolen l’assignaci贸 del m猫tode biproporcional i que a m茅s, mitjan莽ant aquest m猫tode, nom茅s n鈥檋i ha una d’assignaci贸 possible (llevat d鈥檈mpats, molt poc probables).

A la propera taula recollim el resultat d’aquesta operaci贸 i els divisors de files i de columnes que resolen el problema:

Taula 7: Divisors de files i de columnes i quocients
JxS铆 Cs PSC CatS铆Pot PP CUP divisor fila
Barcelon猫s 13.805 9.327 7.349 5.988 6.036 4.933 24129.77
Vall猫s-Maresme 12.325 7.706 5.410 4.418 3.225 3.363 25748.17
Baix Llobregat 4.547 4.834 3.993 3.002 1.959 1.458 22419.59
Comarques gironines 9.376 2.493 1.849 1.080 1.270 1.873 19182.77
Camp de Tarragona 4.440 3.006 1.689 0.999 1.345 1.089 20025.78
Pened猫s 4.629 2.379 1.809 1.196 1.068 1.300 19553.95
Comarques centrals 6.101 0.998 1.002 0.565 0.622 1.169 19932.22
Ponent 5.517 1.455 1.051 0.593 0.994 1.013 15917.74
Terres de l’Ebre 4.056 0.838 0.974 0.485 0.797 0.778 10812.22
Alt Pirineu i Aran 2.723 0.623 0.597 0.245 0.408 0.627 6959.39
divisor columna 1.17 0.99 0.93 0.88 0.91 0.90

L’assignaci贸 definitiva d’escons聽s’obt茅 agafant parts enteres a la taula anterior:

Taula 8:聽Assignaci贸 definitiva d’escons
JxS铆 Cs PSC CatS铆Pot PP CUP suma
Barcelon猫s 13 9 7 5 6 4 44
Vall猫s-Maresme 12 7 5 4 3 3 34
Baix Llobregat 4 4 3 3 1 1 16
Comarques gironines 9 2 1 1 1 1 15
Camp de Tarragona 4 3 1 0 1 1 10
Pened猫s 4 2 1 1 1 1 10
Comarques centrals 6 0 1 0 0 1 8
Ponent 5 1 1 0 0 1 8
Terres de l’Ebre 4 0 0 0 0 0 4
Alt Pirineu i Aran 2 0 0 0 0 0 2
suma 63 28 20 14 13 13

Com es pot veure, aquesta assignaci贸 compleix les dues condicions que ens hav铆em imposat,聽茅s a dir, que concorda tant amb l’assignaci贸 global d’escons a partits com amb聽la distribuci贸 d’escons entre聽circumscripcions.

En particular, la distribuci贸 global dels escons entre partits no dep猫n per a res de com es dissenyi la divisi贸 territorial en circumscripcions. 鉂


Refer猫ncia

1. F.聽Pukelsheim, 2014. Proportional Representation. Springer Verlag. Cap铆tol 14. (2a edici贸 en preparaci贸)

2. A. L贸pez, V.聽Ram铆rez, B. Delgado, 2014. Una propuesta de sistema electoral para Catalu帽a: reparto biproporcional. Pol铆tica y Sociedad 51: 841鈥862.