Com ho fem

El desenvolupament de la activitat es realitza en tres moments:

1. Iniciació – Exploració

Es presenta l’activitat plantejant que és similar a l’anterior però s’han canviat les condicions. Es sol·licita als estudiants que primer la realitzin de forma individual i responguin al mateix full de lliurat. És important emfatitzar que les preguntes sol·liciten explicacions, raons i no solament dades numèriques. Per forçar-ho es fan les preguntes en el sentit de demanar explicacions per què no es poden saber el preu d’una porció i una beguda.

2. Desenvolupament – Contrastació de significats

En finalitzar el treball individual s’organitzen petits grups, de 3 o 4 alumnes, perquè presentin
i discuteixin les respostes que han donat a cada pregunta. En aquest moment s’espera que hi hagi divisió d’opinions (no sabem els preus, sí els sabem, n’hi ha infinits,….), i que debateixin entre ells amb arguments i que finalment s’arribi a acords. Al final com a resultat de la discussió s’espera que consensuin algun acord i el posin per escrit.

 

3. Aprofundiment – Construcció de significats compartits

S’organitza un debat a classe a partir de la presentació dels acords assolits a cada grup petit. Per animar i organitzar la discussió amb tota la classe, el professor pot realitzar preguntes com: N’estàs segur del preu?, Tots n’esteu d’acord? Teniu algun altre argument? és important qüestionar la seguretat en les respostes dels alumnes. A més a més el que es pretén és millorar el nivell d’argumentació dels alumnes per això el professor els demanarà que comparin entre les diferents argumentacions emprades i que justifiquin el per què. També els pot demanar que millorin les seves argumentacions plantegjant-lis limitacions o contradiccions. Finalment el professor ha d’assegurar-se de que totes les preguntes queden ben contestades i de que cada estudiant recull les conclusions, que passaran a ser als seus apunts de classe.

Per què ho fem. Coses per observar.

Un dels aspectes interessants a promoure és el debat a la classe de matemàtiques. En aquest cas volem aconseguir que els alumnes argumentin sobre relacions numèriques que es poden deduir de la situació plantejada. Que facin servir raonaments proporcionals del tipus doble, meitat, i en tant que sigui possible, triple, quàdruple.

També es pretén que se’n adonin de que no sempre es pot saber tot. Que distingeixin en una situació, el que es pot deduir del que no es pot deduir, el que es pot calcular del que no es saber.

En aquestes sessions també es presenta el debat entre les matemàtiques i el context. Fins a quin punt és vàlid un resultat matemàtic si és absurd en el context real? Aquí podeu veure algunes respostes dels alumnes.

Anàlisi de les tasques

Què podem saber del preu de les coses? (1)

 


1) 2 pizzes i 3 amanides costen 19,90 euros. Pots saber què costa 1 pizza i 2 amanides? Raona la resposta.

2) 4 pizzes i 6 amanides, quant costen? Per què?

 

3) Explica què més puc saber amb aquestes dades.

4) Raona que 2 pizzes no poden costar més de 20 euros.

5) Raona que una amanida no pot costar més de 6 euros.

6) Raona que 4 pizzes i 7 amanides costen més de 39 euros.

7) Digues 5 possibles preus de l’amanida i els corresponents de cada pizza.

Dificultats esperades

 

Les dificultats es mostraran quan posin en comú el treball realitzat en el petit grup. El paper del professorat no és el d’anar corregint-los si no que se’ls ha de deixar que diguin coses equivocades i que a través de les diferents intervencions es vagin corregint. Al final el professorat s’encarregarà de que tot quedi ben contestat.

 

Una de les primeres dificultats que es manifesten és que no comprenen què se’ls demana a la 1a pregunta, perquè no esperen que la resposta no sigui numèrica. De vegades donen com a resposta diferents resultats. S’han d’adonar de què és el què realment demanen a la pregunta.

Al posar en comú la 2a pregunta descobreixen que podien haver usat un raonament proporcional.

La 3a pregunta la solen deixar en blanc (no comprenen que d’una condició es pugui treure més informació). En aquest cas no cal dir res, amb les respostes que donaran a les preguntes posteriors també estaran contestant a aquesta 3a pregunta, sense saber-ho.

 

A l’última pregunta alguns alumnes mostren dificultats en el tempteig quan assignen un preu a les pizzes els costa deduir el preu de les amanides. Si se’ls hi fa alguna analogia amb objectes que tenen a mà responen correctament

Exemples dels alumnes

Per ilustrar el que hem mostrat creiem que pot ser útil veure algunes respostes d’alumnes. Per a cada una d les preguntes mostrarem un o dos exemples de respostes dels alumnes.La intenció es poder preparar la intervenció a l’aula, per poder respondre en determinats moments i com interpretar les respostes dels alumnes.

Pregunta 1: 2 pizzes i 3 amanides costen 19,90 euros. Pots saber què costa 1 pizza i 2 amanides? Raona la resposta.

Exemple 1

En aquest cas l’alumne no ha entès la pregunta, s’ha deixat portar per l’inercia i per tant mostra poc raonament matemàtic. Ha afegit una condició que no ve donada ni per l’enunciat ni pel context que és que tots els productes valen el mateix. Aquest tipus de resposta és habitual.
 
Exemple 2
 

 
En aquest cas mostra un bon raonament matemàtic. És capaç de dir que no es pot saber perquè falten dades.
Pregunta 2: 4 pizzes i 6 amanides, quant costen? Per què?
 
Exemple 3

 


 
L’alumne se’n adona de la relació de proporcionalitat. Una quantitat és el doble que l’altre i per tant també serà el doble el seu preu. Des d’un punt de vista competencial mostra un bon raonament matemàtic.

 

Exemple 4
 

 
No se’n adona de la relació de proporcionalitat. En canvi decideix fixar uns preus que li semblen raonables i fa el càlcul correctament. Des d’un punt de vista competencial el raonament matemàtic és baix.
 
Pregunta 3: Explica què més puc saber amb aquestes dades.
 
Exemple 5
 

 
A partir del resultat anterior sap trobar nous resultats satisfactoris i veu la generalització dels resultats.
 
Pregunta 4: Raona que 2 pizzes no poden costar més de 20 euros.
 
Exemple 6
 

 
Justifica correctament la resposta. Fa per tant un bon raonament matemàtic.

 
Pregunta 5: Raona que una amanida no pot costar més de 6 euros.

Exemple 7

 
Exemple 8

En els dos exemples es veuen dues respostes contradictories, una diu que no, basant-se en que a la realitat és imposible trobar aquest preu. L’altre no es para en aquesta reflexió, no li preocupa si és real o no, és a dir les matemàtiques no les relaciona amb el context.

 

Pregunta 6: Raona que 4 pizzes i 7 amanides costen més de 39 euros.
 
Exemple 9
 

 
Exemple 10
 

 

En els dos casos mostren una bona comprensió de la relació de proporcionalitat i donen un bon argument. Mostren un bon raonament matemàtic.
 

Pregunta 7: Digues 5 possibles preus de l’amanida i els corresponents de cada pizza.

 
Exemple 11 (1a part)

 

 

Només troba una solució correcta i no fa cap generalització.
Exemple 11 (2a part)
 

 
Troba més d’una solució però no troba un patró que permeti trobar tants com es vulgui. Mostra una visió parcial del problema, ho presenta més com una comprovació.

Exemple 12

 

 

El que ens presenta són uns resultats i la seva comprovació. No es veu el raonament que ha fet servir per arribar-hi a aquesta solució.

 

 

QUÈ PODEM SABER DEL PREU DE LES COSES? (2)

 

1) Raona per què no puc saber el preu d’1 porció i 1 beguda.

2) Què podem saber del preu de 4 begudes i 2 porcions?

3) Digues 5 coses que podem assegurar a partir de la informació que tenim.

4) Raona si pots saber el preu de 8 porcions i 12 begudes

Dificultats esperades

 
 

Les dificultats es mostraran quan els alumnes posin en comú el treball realitzat en el petit grup. El paper del professorat no és el d’anar corregint-los si no que se’ls ha de deixar que diguin coses equivocades i que a través de les diferents intervencions es vagin aclarint. Al final el professorat s’encarregarà de que tot quedi ben contestat.

 

Alguns alumnes es trobaran amb la mateixa dificultat que en el cas anterior, que no comprenen què se’ls demana a la 1a pregunta perquè no esperen que la resposta no sigui numèrica. De vegades donen com a resposta diferents resultats. S’han d’adonar de què és el què realment demanen a la pregunta.

Al posar en comú la 2a pregunta descobreixen que podien haver usat un raonament proporcional.

 

La 3a pregunta la solen deixar en blanc (no comprenen que d’una condició es pugui treure més informació). En aquest cas no cal dir res, se’n adonaran més endavant quan responguin a les preguntes posteriors que també estan contestant a la 3a pregunta sense saber-ho. Si no se’n adonen el professor els haurà de fer veure-ho.

 

A l’última pregunta alguns alumnes mostren dificultats en el tempteig quan assignen un preu a les pizzes els costa deduir el preu de les amanides. Si se’ls hi fa alguna analogia amb objectes que tenen a mà responen correctament.

Exemples dels alumnes

 

A continuació es mostren exemples de les respostes dels alumnes. Creiem que pot ser útil per a preparar la intervenció del professor a l’aula.

Pregunta 2: Què podem saber del preu de 4 begudes i 2 porcions?

 

Exemple 13

 

P2_2
 

Es pot veure que la resposta no és un número si no que ha de ser un argument del tipus del que ha posat l’alumne.

 

Pregunta 3: Digues 5 coses que podem assegurar a partir de la informació que tenim.

 

Exemple 14

P2_3

L’alumne dóna una resposta correcta. No mostra arguments però de la manera que ho ha fet és prou clar el raonament que fa servir.

 

Pregunta 4: Raona si pots saber el preu de 8 porcions i 12 begudes.

 

Exemple 15

P2_5

 

En aquest cas l’alumne mostra que se’n adona de la relació de que és el doble però en canvi l’operació que fa és la suma no la multiplicació. Pot ser això un indicador de la seva manera de raonar.

 

 

QUÈ PODEM SABER DEL PREU DE LES COSES? (3)

 

P3_Imatge
Observa el preu de 3 porcions i 3 begudes
 
1) Raona per què ara puc saber el preu conjunt d’1 porció i 1 beguda. Quant és?

2) Explica per què puc saber quant costen 5 porcions i 5 begudes.

3) Indica 6 coses que podem saber a partir de les dades que tenim ara.

4) Raona per què no puc saber el preu de 2 porcions i 1 beguda només amb la informació d’aquesta pàgina.

5) Si sabem també el que coneixíem abans (el preu de 4 porcions i 6 begudes), explica com ho fas per esbrinar el preu d’1 porció i 3 begudes.

6) Pots saber el preu de 5 porcions i 15 begudes? Raona la resposta.

7) Pots saber ara el preu de cada porció i el preu de cada beguda?

 

Dificultats esperades

 

És important tenir en compte, que si bé totes les preguntes estan orientades a reconèixer les formes d’argumentació dels estudiants, cadascuna busca analitzar aspectes relacionats amb el reconeixement i establiment de les relacions numèriques, la proporcionalitat, la generalització i les deduccions, entre
d’altres. A més a més tenint en compte que aquesta és l’última activitat del bloc, és fonamental que l’estudiant reconegui els raonaments necessàris per la resolució de situacions com les treballades.

Exemples dels alumnes

 

A continuació es mostren exemples de les respostes dels alumnes. Creiem que pot ser útil per a preparar la intervenció del professor a l’aula.

Pregunta 1: Raona per què ara puc saber el preu conjunt d’1 porció i 1 beguda. Quant és?

 

Exemple 16

 

P3_1

 

Resposta correcta mal argumentada. Es pot suposar que es refereix al preu d’un refresc i una porció però no està ben expressada.
 
Pregunta 2: Explica per què puc saber quant costen 5 porcions i 5 begudes.

 
Exemple 17

 

P3_2
 
En aquest cas l’alumne se’n adona de la relació de 5 cops més gran i ho fa multiplicant.
 
Pregunta 3: Indica 6 coses que podem saber a partir de de les dades que tenim ara.
 
Exemple 18
 
P3_3

 
No es diu però es veu que l’alumne ha comprés les relacions de proporcionalitat.
 
Pregunta 4: Raona per què no puc saber el preu de 2 porcions i 1 beguda només amb la informació d’aquesta pàgina.
 
Exemple 19
 
P3_4

 
Es mostra conscient de que no es pot saber, admet però que es podrien fer especulacions.
 
Pregunta 5: Si també sabem el que coneixíem abans (el preu de 4 porcions i 6 begudes), explica com ho fas per esbrinar el preu d’1 porció i 3 begudes.

 
Exemple 20

 
P3_5

 
Ajundant-se de representacions gràfiques troba el preu de cada un dels productes.
 
Exemple 21
 
P3_5_1
 
També troba el preu de cada un dels productes sense necessitat d’ajudar-se de representacions gràfiques fent un bon raonament deductiu.
 
Pregunta 6: Pot saber el preu de 5 porcions i 15 begudes? Raona la resposta
 
Exemple 22
 
P3_6

 
Havent respost a les anteriors preguntes aquesta només necessita un raonament que pot semblar trivial.

 

 

Materials alumnat

El material per l’alumne el pots trobar en aquest enllaç
Bloc 1.1

Els comentaris estan tancats.